Модель OpenAI опровергла гипотезу экспоненциального времени, связанную с P ≠ NP

Внутренняя модель OpenAI получила результат, который затрагивает основание теории вычислительной сложности. Речь об опровержении гипотезы экспоненциального времени (ETH, Exponential Time Hypothesis). Формулировка ETH утверждает: задачу выполнимости булевых формул (SAT) нельзя решить существенно быстрее, чем полным перебором вариантов.

Одновременно об опровержении ETH сообщила и Anthropic — по её данным, результат получен внутренней моделью компании 16 октября, практически в те же сроки, что и у OpenAI. Обе компании выложили статьи с доказательствами, оформленными на языке Lean: это язык формальной проверки, где каждый шаг вывода проверяет программа, а не человек.

Почему это касается P ≠ NP

ETH — более сильное утверждение, чем знаменитое неравенство P и NP. Если бы ETH была верна, из неё следовало бы и P ≠ NP. Обратное не работает: опровержение ETH само по себе не решает задачу тысячелетия и не доказывает, что P = NP. Оно снимает один из инструментов, которыми пользовались для доказательств в теории сложности.

На ETH опирались сотни работ — в теории графов, вычислительной биологии, базах данных, геометрии. После опровержения вопросы о том, насколько ещё можно ускорить решение конкретных задач, открываются заново.

Кто будет проверять

Проверку возглавит группа под руководством Рассела Импальяццо (Russell Impagliazzo) и Рамури Патури (Ramamohan Paturi) — математиков, которые ETH и сформулировали. OpenAI также пообещала оплатить конференцию по осмыслению результата. Дата её не названа.

Две другие задачи

Помимо ETH, модель OpenAI, по заявлению компании, закрыла ещё два результата.

• Гипотеза Какэя и локальное сглаживание. Речь о волнах, которые фокусируются в одной точке. Гипотеза Согга 1991 года утверждает, что самая сильная фокусировка не может длиться долго; из неё следуют гипотеза Какэя и гипотеза Штейна об ограничении. Это одна из центральных задач гармонического анализа: до сих пор доказательства получали только для двух и трёх измерений. Модель выдала доказательство для произвольной размерности, и вместе с ним автоматически закрылись Какэй и Штейн — тоже для всех размерностей.
• Существование квантовой хромодинамики (КХД) и теории Янга — Миллса. Модель строго доказала существование теории Янга — Миллса, что относится к ещё одной из семи задач тысячелетия. Также заявлено доказательство существования полной КХД, где к глюонам добавлены кварки, и объединённой теории, включающей частицы Стандартной модели. Разбирать результат будет группа во главе с нобелевским лауреатом Дэвидом Гроссом (David Gross).

Какие практические последствия будет иметь опровержение ETH, пока сказать нельзя: ни сроков независимой проверки, ни её промежуточных итогов компании не раскрыли.